Home / Help

Title เวกเตอร์สเปซเชิงโทโปโลยีบนควอเทอเนียน / อนุสรณ์ ชนวีระยุทธ = Topological vector space over the quaternions Anusorn Chonweerayoot 2530 http://cuir.car.chula.ac.th/handle/123456789/30102 vi, 104 แผ่น

SUMMARY

Lex X be a vector space over lH. A map ǁ.ǁ : X →ℝ is said to be a paranorm on x if and only if (1) ǁ0 ǁ = 0 (2) For all x ∈ X, ǁ-xǁ= ǁxǁ (3) For all x, y ∈ X, ǁx+yǁ≤ ǁxǁ+ǁyǁ (4) If (tn)n∈ ℕ is a sequence of elements in lH such that t n →t and (xn)n∈ ℕ is a sequence of elements in x such that ǁXn-Xǁ →0 then ǁtn-Xn-txǁ →0 We call (x, ǁ.ǁ) a paranorm space over lH Let x be a vector space over lH. A map ǁ.ǁ : x → ℝ is said to be a seminorm on x if and only if (1) For all x∈ x and t , ∈ ℍ, ǁ tx ǁ= ⃒t⃒‖x‖ (2) For all x, y∈ x , x+y ≤ ‖x‖ + ‖y‖ We call (x, ǁ.ǁ ) a seminorm space over lH. A topological vector space X over lH (T V S (lH)) is a topological space and a vector space over lH such that the vector operations are continuous. Theorem Let (X, p) be a seminormed space over lH. Let f be a linear functional defined only on a vector subspace S of x and such that ⃒f (x)⃒≤ p(x) for all x ∈ s. Then f can be extended to F ∈ x # with ⃒f (x)⃒≤ p(x) for all x∈ x. Theorem Let (x, ǁ.ǁ ₁ ) and (y, ǁ.ǁ ₂ ) be seminormed space over lH and let T: x →Y be a linear map. Then the following are equivalent : (1) T is continuous at some a ∈x (2) T is continuous on X. (3) T is bounded on the unitdisc, i.e. ‖T ‖<∞. (4) There exists an M ∈ ℝ such that ‖T(x)‖₂≤M‖x‖ ₁ for all X ∈X. Theorem Let (X, T) be a first countable T V S (lH). Then there exists a paranorm ǁ.ǁ on X such T = T where T is the topology induced by ǁ.ǁ Theorem Every T V S (lH) is a completely regular topological space. Theorem Let X be a T V S (lH), f∈ x# and assume that ker f is closed. Then f is continuous on X. Theorem (x, ‖.‖ ) be a seminormed space over IH. Then the quotient space of X is also a seminormed space over IH. Theorem Let X be an n-dimensional separated T V S (IH), n < ∞. Then X is linearly homeomorphic with IHⁿ. Theorem Let X be a separated T V S (IH) which has a totally bounded neighborhood U of 0. Then X is finite dimensional. Theorem Let X be a T V S (IH). Then K C X is compact if and only if K is complete and totally bounded. Theorem (Open mapping theorem) Let X, Y be F S (IH)’s and let f : X→Y be linear, continuous and onto. Then f is open. Theorem (Closed graph theorem) Let X, Y be FS (IH)’s. Let f : X→Y be a linear map with a closed graph G. Then f is continuous. Theorem Every basis of a F S (IH) is a Schauder basis. Theorem Let (X, P) be a locally convex space over IH> and f∈s where S is a vector subspace of X. Then there exists an F∈X such that F = f on s. Theorem Let ɸ be a collection of locally convex topologies on a vactor space X over IH. Then f ∈(x, v ɸ ) if and only if there exists T₁, T₂, … T ∈ɸ ; g₁, g₂, …., gn∈X # such that each gi∈ (x,Tᵢ) and f =Σⁿgᵢ₌ ᵢ₌₁
ให้ X เป็นเวกเตอร์สเปชบนควอเทอเนียน เราเรียกการส่ง ǁ.ǁ : X → ℝว่า พารานอร์ม บน x ก็ต่อเมื่อ (1) ǁ0 ǁ = 0 (2) สำหรับทุกสมาชิก x ∈ X, ǁ-xǁ= ǁxǁ (3) สำหรับทุกสมาชิก x, y ∈ X, ǁx+yǁ≤ ǁxǁ+ǁyǁ (4) ถ้า (tn)n∈ ℕ เป็นลำดับในควอเทอเนียน ซึ่ง t n →t และ (xn)n∈ ℕ เป็นลำดับใน x ซึ่ง ǁXn-Xǁ →0 แล้วจะได้ว่า ǁtn-Xn-txǁ →0 และเรียก (x, ǁ.ǁ ) ว่า พารานอร์มสเปซบนควอเทอเนียน ให้ x เป็นเวกเตอร์สเปซบนควอเทอเนียน เราเรียกการส่ง ǁ.ǁ : x → ว่า ℝ เซมินอร์ม บน x ก็ต่อเมื่อ (1) สำหรับทุกสมาชิก x∈ x และ t , ∈ℍ, ǁ tx ǁ= ⃒t⃒‖x‖ (2) สำหรับทุกสมาชิก x, y∈ x , x+y ≤ ‖x‖ + ‖y‖ และเรียน (x, ǁ.ǁ ) ว่าเซมินอร์สเปซบนควอเทอเนียน เวกเตอร์สเปซเชิงโทโปโลยี x บนควอเทอเนียน (T V X ()) คือสเปซเชิงโทโปโลยี และเวกเตอร์สเปซบนควอเทอเนียนซึ่งปฏิการเชิงเวกเตอร์ต่อเนื่อง ทฤษฎีบท ให้ (x, p) เป็นเซมินอร์มสเปซบนควอเทอเนียนและ f เป็นฟังก์ชันนัลเชิงเส้นซึ่งนิยามบนเวกเตอร์สเปซ S ของ x โดยที่ ⃒f (x)⃒≤ p(x) สำหรับทุกสมาชิก x ∈ s ดังนั้น f สามารถขยายไปสู่ฟังก์ชันนัลเชิงเส้น F บน x ซึ่ง ⃒f (x)⃒≤ p(x) สำหรับทุกสมาชิก x∈ x ทฤษฎีบท ให้ (x, ǁ.ǁ ₁ ) และ (y, ǁ.ǁ ₂ ) เป็นเซมินอร์มสเปซบนควอเทอเนียน และให้ T: x →y เป็นการส่งเชิงเส้น ดังนั้นข้อความต่อไปนี้สมมูลกัน (1) T เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่จุด a ∈x (2) T เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบน x (3) T เป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขตบนยูนิดิสก์ นั่นคือ ‖T ‖<∞ (4) จะมีจำนวนจริง M ซึ่งทำให้ ‖T(x)‖₂≤M‖x‖ ₁ สำหรับทุกสมาชิก x∈ x ทฤษฎีบท ให้ (X, T) เป็น T V S (lH) ซึ่งสามารถนับได้แบบที่หนึ่ง ดังนั้นจะมีพารานอร์ม ǁ.ǁ บน X ซึ่ง T = T เมื่อ T คือ โทโปโลยีซึ่งกำหนดโดยพารานอร์ม ǁ.ǁ ทฤษฎีบท ทุก ๆ T V S (H) เป็นสเปซเชิงโทโปโลยีแบบเรกูลาร์อย่างบริบูรณ์ ทฤษฎีบท ให้ X เป็น T V S (lH), f∈ x# และสมมติว่า ker f เป็นเซตปิด ดังนั้น f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ทฤษฎีบท ให้ (x, ‖.‖ ) เป็นเซมินอร์มสเปซควอเทอเนียน ดังนั้นสเปซผลหารของ x เป็นเซมินอร์มสเปซบนควอเทอเนียน ทฤษฎีบท ให้ x เป็น T V S (lH) ซึ่งสามารถแยกได้และมีมิติเท่ากับ n โดยที่ n < ∞ดังนั้น x โฮมิโอมอร์ฟิกตัวอย่างเชิงเส้นกับ Hⁿ ทฤษฎีบท ให้ x เป็น T V S (lH) ซึ่งสามารถแยกได้และมีย่านใกล้เคียง U ของศูนย์แบบมีขอบเขตโดยสิ้นเชิง ดังนั้น x มีมิติจำกัด ทฤษฎีบท ให้ x เป็น T V S (lH) ดังนั้น K C X เป็นเซตคอมแพกต์ ก็ต่อเมื่อ K เป็นเซตบริบูรณ์และมีขอบเขตโดยสิ้นเชิง ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทการส่งเปิด) ให้ X, Y เป็น F S (lH) และให้ f: X →Y เป็นการส่งเชิงเส้นต่อเนื่องจาก X ไปทั่วถึง Y ดังนั้น f เป็นการส่งเปิด ทฤษฎีบท (ทฤษฎีบทกราฟปิด) ให้ X, Y เป็น F S (lH)และให้ f : X →Y เป็นการส่งเชิงเส้น พร้อมด้วยกราฟปิด G ดังนั้น f เป้นการส่งต่อเนื่องบน X ทฤษฎีบท ให้ X, Y เป็น FS(lH)และให้ f เป็นการส่งจาก X ไปถึง Y แบบเชิงเส้นพร้อมด้วยกราฟปิด ดังนั้น f เป็นการส่งเปิด และต่อเนื่อง ทฤษฎีบท ให้ X, Y เป็น FS (lH) และให้ f เป็นการส่งจาก X ไปทั่วถึง Y แบบเชิงเส้นพร้อมด้วยกราฟปิด ดังนั้น f เป็นการส่งเปิด และต่อเนื่อง ทฤษฎีบท ทุก ๆ ฐานของ F S (lH) เป็นฐานชอเดอร์ ทฤษฎีบท ให้ (X, P) เป็นสเปซแบบโลคัลลี่คอนเวกซ์บนควอเทอเนียน และ f ∈s เมื่อ s เป็นเวกเตอร์สับสเปซของ X ดังนั้นจะมี F ∈X ซึ่ง F = f บน S. ทฤษฎีบท ให้ ɸ เป็นกลุ่มของโทโปโลยีบนโลคัลลี่คอนเวกซ์บนเวกเตอร์สเปซ x บนควอเทอเนียน ดังนั้น f ∈(x, vɸ ) ก็ต่อเมื่อ มี T₁, T₂, … T ∈ɸ และ g₁, g₂, …., gn∈X # ซึ่งทุก ๆ gi∈ (x,Tᵢ) และ f =Σgᵢ₌ ᵢ₌₁

เวกเตอร์สเปซ ลิเนียร์ โทโพโลจิเคิลสเปซ

LOCATIONCALL#STATUS
Science Library : Thesisวพ.2530 / 574CHECK SHELVES

Chulalinet's Book Delivery Request

Location

Office of Academic Resources, Chulalongkorn University, Phayathai Rd. Pathumwan Bangkok 10330 Thailand

Contact Us

Tel. 0-2218-2929,
0-2218-2927 (Library Service)
0-2218-2903 (Administrative Division)
Fax. 0-2215-3617, 0-2218-2907

Social Network